Papier in Terzen, Quinten, Septimen und so weiter unterteilen …

Jedes kastengefaltete Origami-Modell basiert auf einem Raster. Aber nicht alle Gitter sind gleich. Einige sind einfacher zu konstruieren als andere. Raster wie 2×2, 4×4, 8×8, 16×16 usw. sind beispielsweise relativ einfach herzustellen, da sie durch aufeinanderfolgendes Halbieren des Papiers konstruiert werden könnten.

Dies ist möglich, weil ihre Größe ein Vielfaches von 2 ist.

Andererseits ist ein 12×12-Raster komplexer, da es nicht durch eine sukzessive Halbierung des Papiers aufgebaut werden kann. Trotzdem ist das Verfahren selbst für diese Art von Raster einfach und unkompliziert.

Verfahren

Wir müssen die benötigte Anzahl von Quadraten, in unserem Fall 12, in Primzahlen zerlegen, das heißt, wir müssen sie in eine Gruppe von Primzahlen aufteilen, die miteinander multipliziert unsere Gittergröße ergeben. Wenn Sie es vergessen haben, können Primzahlen nur durch 1 und sich selbst geteilt werden. Primzahlen sind beispielsweise 2, 3, 5, 7, 11 usw.

Welche Primzahlen also miteinander multipliziert ergeben 12. Es ist ziemlich einfach, es sind zwei, noch einmal zwei und drei. Also müssen wir das Papier in Drittel teilen, dann jedes dritte in zwei Hälften und dann noch einmal in zwei Hälften. Das Problem ist, dass das Teilen des Papiers in Drittel nicht so einfach ist wie das Teilen des Papiers in zwei Hälften.

Was wir tun müssen, ist eine Falte entlang der Diagonale. Außerdem müssen wir das Papier entlang der Linie falten, die die untere rechte Papierecke und die Mitte der linken quadratischen Seite verbindet.

Abbildung 1

Der Schnittpunkt zwischen diesen beiden diagonalen Knicken teilt das Papier in ⅓ und ⅔. Daher müssen wir eine vertikale Falte durch die Kreuzung machen. Dabei müssen wir sehr genau sein. Jede Fehlausrichtung macht das Raster unbrauchbar.

Um die richtige Genauigkeit zu gewährleisten, sollten zwei zusätzliche kleine Quetschungen vorgenommen werden (Abbildung 2). Diese beiden Kneifen werden unsere Aufgabe viel einfacher machen, da das Erstellen einer Falte durch zwei Punkte viel präziser ist.

Jetzt, da wir eine Falte haben, sollten wir eine weitere machen, indem wir zwei Drittel in zwei Hälften teilen. Dabei ist es uns gelungen, das Papier in drei Drittel aufzuteilen.

Der Übergang von einem in Drittel geteilten Papier zu einem in Zwölftel geteilten Papier ist einfach. Wir müssen nur zwei aufeinanderfolgende Halbierungen aller Drittel durchführen. Nichts mehr.

Figur 2

Geometrie dahinter

Eines der wichtigsten Gesetze der Geometrie besagt, dass zwei Dreiecke genau dann als ähnlich angesehen werden, wenn alle ihre Winkel gleich sind. Ich wiederhole: Die Winkel sind gleich, nicht die Seiten oder Kanten. Wenn wir unsere Zeichnung betrachten, können wir sehen, dass es zwei solcher Dreiecke gibt. Der erste hat die Seitenlängen b und c (der rote).

Die zweite ist die mit Seitenlängen von eineinhalb a (die blaue).

Figur 3

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass diese Dreiecke ähnlich sind, wissen wir, dass das Verhältnis der Längen c und b gleich dem Verhältnis der Längen a und der Hälfte a ist.

Mit einer einfachen mathematischen Notation kann dies wie folgt geschrieben werden:

c/b=a/(a/2)

… die bei der Neuordnung folgendes Formular ergibt:

(ab)/b=2

Eine zusätzliche Neuordnung führt uns dazu:

ab= 2b

Schließlich sind wir beim gesuchten Ergebnis angekommen: b ist gleich einem Drittel von a.

b=a/3

Genau das haben wir gebraucht. b ist genau ein Drittel von a a, was bekanntlich der Länge einer Papierseite entspricht.

Universelles Verfahren

Ich sehe fast, dass Sie sich fragen, ob dieses Verfahren für jede Abteilung gilt? Die Antwort ist seltsamerweise: Ja.

Was wir brauchen, ist ein Verfahren, das ein Raster beliebiger Größe erstellen kann. Dieses sogenannte universelle Verfahren werde ich demonstrieren, indem ich die Arbeit in Siebtel unterteile. So lass uns anfangen.

Sie sehen, unabhängig von der Rastergröße beginnen wir immer mit einer Falte entlang einer Diagonalen. Das ist immer der erste Schritt. Jetzt sind wir zum wichtigen Teil gekommen. Wir müssen noch eine weitere sogenannte Diagonale hinzufügen, die die untere rechte Ecke des Papiers und einen Punkt am linken Rand des Papiers verbindet. Um genau diesen Punkt zu finden, müssen wir zunächst die linke Kante durch die größte Zahl aus der Gruppe der Vielfachen von zwei (2, 4, 8, 16, 32, 64 usw.) dividieren, die kleiner ist als die Zahl von erforderlichen Papiertrennwände. Das mag kompliziert klingen, ist es aber nicht.

Sehen Sie, da wir das Papier in Siebtel unterteilen wollen, ist es offensichtlich, dass wir zuerst den rechten Rand in Viertel unterteilen müssen. Sieben liegt zwischen 4 und 8, und da wir die niedrigere wählen müssen, ist es offensichtlich, dass wir 4 wählen müssen?

Unser erster Schritt besteht also darin, die rechte Kante in Viertel zu unterteilen. Auch hier reicht es aus, nur kleine Prisen zu machen. Der Punkt, der uns interessiert, ist der dritte, denn drei ist gleich der Differenz zwischen sieben – der Anzahl der gesuchten Partitionen, und vier – der Anzahl der Partitionen, die wir tatsächlich am linken Rand erstellt haben. Das heißt, unser Punkt ist genau drei Viertel von unten. Wenn wir diesen sogenannten diagonalen Knick machen, erhalten wir einen Schnittpunkt, der das Papier in 3/7 und 4/7 teilt.

Figur 4

Was wir jetzt tun müssen, ist 4/7 in Viertel zu teilen. Es ist eine ganz einfache Aufgabe. Wir wissen bereits, dass es einfach ist, etwas in Viertel zu unterteilen, weil vier ein Vielfaches von zwei ist.

Abbildung 5

Aber was ist mit 3/7. Dieser Teil der Arbeit sollte in Drittel geteilt werden. Müssen wir das gleiche Verfahren noch einmal implementieren? Natürlich nicht. Was wir tun sollten, ist eine Grundeinheit aus dem Vier-Sieben-Segment zu leihen und an das Drei-Siebte-Segment anzuhängen, um so ein neues Vier-Siebtel-Segment zu konstruieren, das auch durch aufeinanderfolgende Halbierungen geteilt werden könnte. So einfach ist das.

Abbildung 6

Um Ihnen zu zeigen, dass das Verfahren tatsächlich universell ist, erstellen wir eine Tabelle mit allen Rastern zwischen 3 und 32. Wie Sie sehen, gibt die zweite Spalte an, wie der linke Rand des Papiers geteilt werden soll. Die Anzahl der Teilungen ist immer die größte Zahl aus der Gruppe der Vielfachen von zwei (2, 4, 8, 16) kleiner als die Größe des Rasters. Für das Raster 13×13 ist es beispielsweise 8, weil 13 zwischen 8 und 16 liegt, und wir müssen das kleinere wählen. Die dritte Spalte ist wahrscheinlich die wichtigste. Es sagt uns, aus einer bestimmten Anzahl von Markierungen oder Quetschungen, die wir am linken Rand des Papiers gemacht haben, welche verwendet wird. Im Fall des 13×13-Gitters ist das fünfte, da der Unterschied zwischen dreizehn (Größe des Gitters) und acht (Anzahl der Unterteilungen, die wir am linken Rand vorgenommen haben) fünf beträgt. Schließlich sagen uns die letzten beiden Spalten, welche Art von Divisionen wir haben. Die zweite Division ist immer ein Vielfaches von zwei und daher leicht teilbar.

Netz Nr. Markierungen markieren Abteilung 1 Abteilung 2
3×3 2 1 1/3 2/3
5×5 4 1 1/5 4/5
7×7 4 3 3/7 4/7
9×9 8 1 1/9 8/9
11×11 8 3 3/11 8/11
13×13 8 5 5/13 8/13
15×15 8 7 7/15 8/15
17×17 16 1 1/17 16/17
19×19 16 3 19.03 16/19
21×21 16 5 5/21 16/21
23×23 16 7 23.07 16/23
25×25 16 9 9/25 16/25
27×27 16 11 27.11 16/27
29×29 16 13 13/29 16/29
31×31 16 fünfzehn 15/31 16/31

Bitte beachten Sie, dass die meisten Raster in der Tabelle auf Primzahlen basieren. Aber es gibt wenige Ausnahmen. Ein 15×15-Raster basiert beispielsweise nicht auf einer Primzahl (15 ist keine Primzahl). Daher könnte es als 5×5-Raster aufgebaut werden und dann sollte jede Trennwand weiter in Drittel unterteilt werden. Leider müsste auf diese Weise die komplette Prozedur zweimal durchgeführt werden. Wenn wir andererseits die Tatsache außer Acht lassen, dass 15 keine Primzahl ist, und beschließen, das 15×15-Raster in einem Take so zu gestalten, als ob es eine Primzahl wäre, müssten wir das gezeigte Verfahren nur einmal implementieren. Ähnliche Verfahren können auf die Gitter 9×9, 21×21, 25×25 und 27×27 angewendet werden, obwohl alle weiter in die kleineren Primfaktoren unterteilt werden können.

Potenzielles Problem

Aus mathematischer Sicht ist diese Methode fehlerfrei, aber der Implementierungsteil kann in einigen seltenen Fällen etwas knifflig sein. Das Problem ist, dass es absolut wichtig ist, sehr genau zu sein, wenn der Unterschied zwischen der Anzahl der Partitionen, die wir erstellen möchten, und der Anzahl der Partitionen, die wir tatsächlich am Papierrand erstellt haben, gering ist. Im schlimmsten Fall, wenn es nur einer ist.

Wenn wir zum Beispiel ein 17×17-Raster erstellen möchten, würden wir auf eine solche Situation stoßen. Um das Problem vollständig zu verstehen, versuchen wir, das gezeigte Verfahren zu implementieren und versuchen, ein 17×17-Gitter zu konstruieren. Zuerst müssen wir also das Papier entlang einer Diagonale teilen. Das ist immer der erste Schritt und es ist einfach. Als nächstes müssen wir eine zweite Diagonale konstruieren. Wir wissen, dass 17 zwischen sechzehn und zweiunddreißig liegt, also müssen wir den Rand des Papiers in sechzehn gleiche Abschnitte unterteilen. Da der Unterschied zwischen siebzehn (Rastergröße) und sechzehn (Anzahl der Partitionen, die wir am linken Rand erstellt haben) eins ist, ist unser Interessenpunkt (von uns vorgenommene Prise) der erste von unten. Ich hoffe du siehst das Problem. Es ist schwer, um nicht zu sagen unmöglich, ein Papier entlang dieser fast horizontalen Diagonale zu falten, insbesondere wenn die Größe einer Grundeinheit klein ist.

Abbildung 7

Die Definition eines so kleinen Grundelements in einem einzigen Take in einer so ungeraden Konfiguration erfordert eine nahezu unmögliche Präzision. Zum Glück ist 17×17 nur eine solche Konfiguration.

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